Sum Of Product dan Product Of Sum

Sum OF Product dan Product Of Sum

Sum Of Product

(Jumlah dari Hasil Kali)

Untuk memahami hubungan fungsi antara fungsi Boole, table kebenaran, dan peta Karnough terlebih dahulu ditinjau suatu bentuk khusus dari persamaan (5-1) sebagai:

                             _        _

Y = ƒ (A,B,C) = AC + BC

Tabel kebenaran dari persamaan (5-2) tampak pada table 5.1 sebagai :

Baris ke -	A	B	C	_ AC	_ BC	_       _ Y= AC +BC
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	1	0	1
2	0	1	0	0	1	1
3	0	1	1	1	0	1
4	1	0	0	0	0	0
5	1	0	1	0	0	0
6	1	1	0	0	1	1
7	1	1	1	0	0	0

Dengan memperhatikan nomor baris dimana Y = 1, dapat diperoleh :

 Y = 1

    = baris 1 atau baris 2 atau baris 3 atau baris 6

    = 001 + 010 + 011 + 110

       _  _        _   _     _               _

    = A BC + ABC + ABC + ABC

Fungsi boole seperti disajikan pada persamaan (5-3) merupakan bentuk standar jumlah dari hasil kali (sum of product). Jika diperhatikan dengan seksama, setiap bentuk sum of product memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

a. Fungsi tersebut merupukan jumlahan (OR) dari suku-suku

b. Setiap suku berupa perkalian (AND) dari variable variable

c. Semua variable muncul pada setiap suku (bentuk kanonik)

Setiap suku dari fungsi Boole dalam bentuk sum of product juga disebut minterm (suku minimum). Untuk menyingkat penulisan, setiap minterm diberi symbol m yang diikuti angka indeks menurut nomor barisnya. Untuk persamaan (6-3) dapat dituliskan kembali sebagai :

Y = ABC + ABC + ABC + ABC

   = 001 + 010 + 011 + 110

   = m₁ + m₂ + m₃ + m₄

   = Σ m (1,2,3,6).

Secara sederhana menterm atau sum of product dapat disajikan dengan cara sebagai berikut :

                                                              _  _   _  _

Nyatakanlah A,B,C,D…. dengan 1 dan A, B, C, D, … dengan 0 

a. Nyatakanlah kombinasi bener setiap suku menjadi decimal

b. Nyatakanlah Y = Σ m (n), dengan n merupakan nilai decimal dari setiap suku.

Contoh 1 :

Y = ƒ (A,B,C)

      _  _       _  _       _          _                   _

   = A BC + ABC + ABC + A BC + A B C

   = 111 + 110 + 101 + 011 + 000

   = m₇ + m₆ + m₅ + m₁ + m₀

    = Σ m (0,1,5,6,7)

Contoh 2 :

Y = ƒ (A,B,C,D)

= Σ m (0,2,5,6,7,13).

= m₀ + m₂ + m₅ + m₆ + m₇ + m₁₃

= 0000 + 0010 + 0101 + 0110 + 0111 + 1101

   _  _  _  _      _  _  _        _   _        _    _       _                   _

= A B C D  + A B CD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

...........................................................................................................................

Product of Sum

(Hasil Kali dari Jumlah)

Berdasarkan table kebenaran dari dari persamaan (5-2) dapat juga diperhatikan nomor baris dimana Y = 1 atau Y = 0, dan selajutnya dapat dituliskan sebagai berikut:

Y = 1

    = baris 0 atau 4 atau 5 atau 7

   = 000 + 100+101 +111

           _ _     _            _     _            _

   = A B C + A B C + A B C + A B C

                       _ _    _     _         _     _   _  _   

Dengan sifat AB = A + B dan A + B = A B persamaan (6-5) dapat dituliskan menjadi

                _ _ _        _ _           _  _ 

Y = Y = (A B C) + (A B C) + (A B C) + (A B C)

               _ _ _         _ _          _

           =(A B C) (A B C) (A B C) (A B C)

           = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

Fungsi Boole seperti disajikan pada persamaan (6-6) merupakan bentuk standar hasil kali dari jumlah (Product of Sum). Jika diperhatikan dengan seksama setiap bentuk product of sum memenuhi sifat-sifat:

a. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari factor

b. Setiap factor berupa jumlahan (OR) dari variable-variabel

c. Semua variable fungsi muncul pada setiap factor (bentuk kanonik).

Setiap factor dari fungsi Boole dalam bentuk product of sum juga disebut maxterm (suku maximum). Untuk menyingkat penulisan, setiap maxterm diberi simbo M yang diikuti dengan angka indeks menurut nomor barisnya.

Untuk persamaan (5-6) dapat dituliskan kembali sebagai :

        _       _              _        _        _       _

Y = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

   = 000. 100 . 101 . 111

   = M₀ . M₄ . M₅ . M₇

   = Π M (0,4,5,7). (5-7)

Secara sederhana maxterm atau product of sum dapat disajikan dengan cara sebagai berikut :

                          _ _  _ _

a. Nyatakanlah A,B,C,D… dengan 0 dan A, B, C, D,…dengan 1

b. Nyatakanlah kombinasi biner setiap factor menjadi decimal (n)

c. Nyatakanlah Y = Π M (n), dengan n merupakan nilai decimal dari                        

   setiap faktor.

Contoh :

Ubahlah minterm Y = ƒ (A,B,C) = ABC + ABC + ABC + A BC menjadi maksterm !

Y = ABC + ABC + ABC + A BC

  = 111 + 100 + 010 + 011

  = 7 + 4 + 2 + 3

  = Σ m (2,3,4,7)

Sedangkan bentuk makstermnya adalah :

Y = Y f(A,B,C)

    = Π M (0,1,5,6)

    = 000 . 001 . 101 . 110

    = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

Referensi :
Pengantar Sistem Digital by Dr. Wawan Setiawan, M.Kom

Macam-Macam Gerbang Logika

Gerbang Logika

Gerbang yang diterjemahkan dari istilah asing gate, adalah elemen dasar dari semua rangkaian yang menggunakan sistem digital. Boleh jadi mereka mengenal istilah pencacah (counter), multiplekser ataupun encoder dan decoder dalam teknik digital, tetapi adakalanya mereka tidak tahu dari apa dan bagaimana alat-alat tersebut dibentuk. Ini dikarenakan oleh mudahnya mendapatkan fungsi tersebut dalam bentuk satu serpih IC (Integrated Circuit).Kondisi tegangan “ada tegangan” mempunyai istilah lain “berlogika satu” (1) atau “berlogika tinggi” (high), sedangkan “tidak ada tegangan” memiliki istilah lain “berlogika nol” (0) atau “berlogika rendah” (low).

1.  Gerbang Not (Not Gate)

 “Gerbang NOT atau juga bisa disebut dengan pembalik (inverter) memiliki fungsi membalik logika tegangan inputnya pada outputnya. Sebuah inverter (pembalik) adalah gerbang dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal keluaran dimana keadaan keluaranya selalu berlawanan dengan keadaan masukan. Membalik dalam hal ini adalah mengubah menjadi lawannya. Karena dalam logikategangan hanya ada dua kondisi yaitu tinggi dan rendah atau “1” dan “0”, maka membalik logika tegangan berarti mengubah “1” menjadi "0” atau sebaliknya mengubah nol menjadi satu. Simbul atau tanda gambar pintu NOTditunjukkan pada gambar dibawah ini.

2.  GERBANG AND (AND GATE)

Gerbang AND (AND GATE) atau dapat pula disebut gate AND ,adalah suatu rangkaian logika yang mempunyai beberapa jalan masuk (input) dan hanya mempunyai satu jalan keluar (output). Gerbang ANDmempunyai dua atau lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Dalam gerbang AND, untuk menghasilkan sinyal keluaran tinggi maka semua sinyal masukan harus bernilai tinggi.

3.  GERBANG OR (OR GATE)

Gerbang ORberbeda dengan gerbang NOT yang hanya memiliki satu input, gerbang ini memiliki paling sedikit 2 jalur input. Artinya inputnya bisa lebih dari dua, misalnya empat atau delapan. Yang jelas adalah semua gerbang logika selalu mempunyai hanya satu output. Gerbang ORakan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah.

4.  Gerbang NAND

Gerbang NANDadalah suatu NOT-AND, atau suatu fungsi AND yang dibalikkan. Dengan kata lain bahwa gerbang NAND akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai tinggi.

 

5.  Gerbang NOR

 Gerbang NOR adalah suatu NOT-OR, atau suatu fungsi OR yang dibalikkan sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukanya bernilai rendah.

6.  Gerbang X-OR

Gerbang X-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi atau dengan kata lain bahwa X-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai sama semua.

7.  Gerbang X-NOR

Gerbang X-NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal masukan bernilai sama (kebalikan dari gerbang X-OR).

Sumber :             

http://jenisgerbanglogikayenny.blogspot.com/

Sistem dan Konversi Bilangan

Sistem Bilangan

Sistem bilangan yang digunakan pada piranti digital terdiri dari beberapa macam, antara lain bilangan desimal, bilangan biner, bilangan oktal, dan bilangan heksa desimal.

1. Bilangan Desimal

Bilangan desimal adalah bilagan dengan basis 10. Disimbolkan dengan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nilai suatu bilangan dalam bilangan desimal (basis 10) dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 10^a) dengan N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan a = …, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan ).

2. Bilangan Biner

Bilangan biner adalah bilangan dengan basis 2. Disimbolkan dengan 0 dan 1. Nilai suatu bilangan biner (basis 2) dalam desimal (basis 10) dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 2^a) dengan N = 0 atau 1; dan a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam decimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

3. Bilangan Oktal

Bilangan oktal adalah bilangan dengan basis 8. Disimbolkan dengan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Nilai suatu bilangan oktal (basis 8) dalam desimal (basis 10) dapat dinyatakan sebagai Σ(N x 8^a) dengan N = 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, dan 7; dan a = …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam decimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan). 

4. Bilangan Hexadesimal

Bilangan hexadesimal adalah bilangan dengan basis 16. Disimbolkan dengan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F . Nilai suatu bilangan hexadesimal (basis 16) dalam desimal (basis 10) dapat dinyatakan sebagai Σ(Nx 16^a) dengan N = 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, dan 15; dan a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam decimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

........................................................................................................................

Konversi Bilangan

1.  Bilangan Desimal ke Bilangan Biner

Untuk menjadikan bilangan desimal (basis 10) ke bilangan biner (basis 2) yaitu dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 2 secara terus-menerus.

Contoh :

ubahlah bilangan 98₍₁₀₎ ke bilangan biner (basis 2)

98       :         2        =        49      sisa    0

49       :         2        =        24      sisa    1

24       :         2        =        12      sisa    0

12       :         2        =        6        sisa    0

6         :         2        =        3        sisa    0

3         :         2        =        1        sisa    1

1         :         2        =        0        sisa    1

Sisa dituliskan dari bawah : 1 1 0 0 0 1 0₍₂₎

2.  Bilangan Biner ke Bilangan Desimal

Untuk mengubah bilangan biner (basis 2) ke bilangan desimal (basis 10) yaitu dengan cara (N x 2^a).

Contoh :

Ubahlah bilangan 1 0 1 1 0₍₂₎ ke dalam bilangan desimal (basis 10)

N        =        1       0        1        1        0

                     2⁴           2³           2²           2¹           2⁰

           =       (1 x 2⁴) + (0 x 2³) + (1 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰)

           =       16 + 0 + 4 + 2 + 0

           =       22₍₁₀₎

3.  Bilangan Desimal ke Bilangan Oktal

Untuk mengubah bilangan desimal (basis 10) ke bilangan oktal (basis 8) yaitu dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 8 secara terus-menerus.

Contoh :

Ubahlah bilangan 1368₍₁₀₎ ke dalam bilangan oktal (basis 8)

1368    :         8        =        171     sisa   0

171      :         8        =        21      sisa   3

21        :         8        =        2       sisa   5

2          :         8        =        0       sisa   2

Sisa dituliskan dari bawah : 2 5 3 0

Jadi 1368₁₀ = 2530₈

4.  Bilangan Oktal ke Bilangan Desimal

untuk mengubah bilangan oktal (basis 8) ke bilangan desimal (basis 10) yaitu dengan cara (N x 8^a).

Contoh :

Ubahlah bilangan 1476₍₈₎ ke dalam bilangan desimal (basis 10)

N        =        1        4        7        6

                               8³           8²      8¹       8⁰

                    =        (1 x 8³) + (4 x 8²) + (7 x 8¹) + (6 x 8⁰)

                    =        512 + 256 + 56 + 6

                    =        830₍₁₀₎

5.  Bilangan Desimal ke Bilangan Hexadesiamal

Untuk mengubah bilangan desimal (basis 10) ke bilangan hexadesimal (basis 16) yaitu dengan cara membagi bilangan desimal tersebut dengan 16 secara terus-menerus.

Contoh :

Ubahlah bilangan 19006₁₀ ke dalam heksadesimal (basis 16)

19006   :         16      =       1187  sisa   14 (=E)

1187     :         16      =       74     sisa   3

74         :         16      =       4       sisa    10 (=A)

4           :         16      =       0       sisa   4

Sisa dituliskan dari bawah : 4 A 3 E

Jadi 19006₁₀ = 4A3E₁₆

6.  Bilangan Hexadesimal ke Bilangan Desimal

untuk mengubah bilangan hexadesimal (basis 16) ke bilangan desimal (basis 10) yaitu dengan cara (Nx 16^a).

Contoh :

Ubahlah bilangan 1 0 A 5 B₍₁₆₎ ke bilangan desimal (basis 10)

N        =        1        0        A       5        B

                    16⁴     16³     16²     16¹     16⁰

           =        (1 x 16⁴) + (0 x 16³) + (A x 16²) + (5 x 16¹) + (B x 16⁰)

           =        65536 + 0 + 2560 + 80 + 11

           =        68187₍₁₀₎

Tabel konversi bilangan desimal, biner, oktal, hexadesimal

Desimal	Biner	Oktal	Hexadesimal
(Radix 10)	(Radix 2)	(Radix 8)	(Radix 16)
00	0000	00	0
01	0001	01	1
02	0010	02	2
03	0011	03	3
04	0100	04	4
05	0101	05	5
06	0110	06	6
07	0111	07	7
08	1000	10	8
09	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Referensi :

Pengantar Sistem Digital by Dr. Wawan Setiawan, M.Kom