Sum OF Product dan Product Of Sum

Sum Of Product

(Jumlah dari Hasil Kali)

Untuk memahami hubungan fungsi antara fungsi Boole, table kebenaran, dan peta Karnough terlebih dahulu ditinjau suatu bentuk khusus dari persamaan (5-1) sebagai:

                             _        _

Y = ƒ (A,B,C) = AC + BC

Tabel kebenaran dari persamaan (5-2) tampak pada table 5.1 sebagai :

Baris ke -	A	B	C	_ AC	_ BC	_       _ Y= AC +BC
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	1	0	1
2	0	1	0	0	1	1
3	0	1	1	1	0	1
4	1	0	0	0	0	0
5	1	0	1	0	0	0
6	1	1	0	0	1	1
7	1	1	1	0	0	0

Dengan memperhatikan nomor baris dimana Y = 1, dapat diperoleh :

 Y = 1

    = baris 1 atau baris 2 atau baris 3 atau baris 6

    = 001 + 010 + 011 + 110

       _  _        _   _     _               _

    = A BC + ABC + ABC + ABC

Fungsi boole seperti disajikan pada persamaan (5-3) merupakan bentuk standar jumlah dari hasil kali (sum of product). Jika diperhatikan dengan seksama, setiap bentuk sum of product memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

a. Fungsi tersebut merupukan jumlahan (OR) dari suku-suku

b. Setiap suku berupa perkalian (AND) dari variable variable

c. Semua variable muncul pada setiap suku (bentuk kanonik)

Setiap suku dari fungsi Boole dalam bentuk sum of product juga disebut minterm (suku minimum). Untuk menyingkat penulisan, setiap minterm diberi symbol m yang diikuti angka indeks menurut nomor barisnya. Untuk persamaan (6-3) dapat dituliskan kembali sebagai :

Y = ABC + ABC + ABC + ABC

   = 001 + 010 + 011 + 110

   = m₁ + m₂ + m₃ + m₄

   = Σ m (1,2,3,6).

Secara sederhana menterm atau sum of product dapat disajikan dengan cara sebagai berikut :

                                                              _  _   _  _

Nyatakanlah A,B,C,D…. dengan 1 dan A, B, C, D, … dengan 0 

a. Nyatakanlah kombinasi bener setiap suku menjadi decimal

b. Nyatakanlah Y = Σ m (n), dengan n merupakan nilai decimal dari setiap suku.

Contoh 1 :

Y = ƒ (A,B,C)

      _  _       _  _       _          _                   _

   = A BC + ABC + ABC + A BC + A B C

   = 111 + 110 + 101 + 011 + 000

   = m₇ + m₆ + m₅ + m₁ + m₀

    = Σ m (0,1,5,6,7)

Contoh 2 :

Y = ƒ (A,B,C,D)

= Σ m (0,2,5,6,7,13).

= m₀ + m₂ + m₅ + m₆ + m₇ + m₁₃

= 0000 + 0010 + 0101 + 0110 + 0111 + 1101

   _  _  _  _      _  _  _        _   _        _    _       _                   _

= A B C D  + A B CD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

...........................................................................................................................

Product of Sum

(Hasil Kali dari Jumlah)

Berdasarkan table kebenaran dari dari persamaan (5-2) dapat juga diperhatikan nomor baris dimana Y = 1 atau Y = 0, dan selajutnya dapat dituliskan sebagai berikut:

Y = 1

    = baris 0 atau 4 atau 5 atau 7

   = 000 + 100+101 +111

           _ _     _            _     _            _

   = A B C + A B C + A B C + A B C

                       _ _    _     _         _     _   _  _   

Dengan sifat AB = A + B dan A + B = A B persamaan (6-5) dapat dituliskan menjadi

                _ _ _        _ _           _  _ 

Y = Y = (A B C) + (A B C) + (A B C) + (A B C)

               _ _ _         _ _          _

           =(A B C) (A B C) (A B C) (A B C)

           = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

Fungsi Boole seperti disajikan pada persamaan (6-6) merupakan bentuk standar hasil kali dari jumlah (Product of Sum). Jika diperhatikan dengan seksama setiap bentuk product of sum memenuhi sifat-sifat:

a. Fungsi-fungsi tersebut terdiri dari factor

b. Setiap factor berupa jumlahan (OR) dari variable-variabel

c. Semua variable fungsi muncul pada setiap factor (bentuk kanonik).

Setiap factor dari fungsi Boole dalam bentuk product of sum juga disebut maxterm (suku maximum). Untuk menyingkat penulisan, setiap maxterm diberi simbo M yang diikuti dengan angka indeks menurut nomor barisnya.

Untuk persamaan (5-6) dapat dituliskan kembali sebagai :

        _       _              _        _        _       _

Y = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

   = 000. 100 . 101 . 111

   = M₀ . M₄ . M₅ . M₇

   = Π M (0,4,5,7). (5-7)

Secara sederhana maxterm atau product of sum dapat disajikan dengan cara sebagai berikut :

                          _ _  _ _

a. Nyatakanlah A,B,C,D… dengan 0 dan A, B, C, D,…dengan 1

b. Nyatakanlah kombinasi biner setiap factor menjadi decimal (n)

c. Nyatakanlah Y = Π M (n), dengan n merupakan nilai decimal dari                        

   setiap faktor.

Contoh :

Ubahlah minterm Y = ƒ (A,B,C) = ABC + ABC + ABC + A BC menjadi maksterm !

Y = ABC + ABC + ABC + A BC

  = 111 + 100 + 010 + 011

  = 7 + 4 + 2 + 3

  = Σ m (2,3,4,7)

Sedangkan bentuk makstermnya adalah :

Y = Y f(A,B,C)

    = Π M (0,1,5,6)

    = 000 . 001 . 101 . 110

    = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

Referensi :
Pengantar Sistem Digital by Dr. Wawan Setiawan, M.Kom